1.次の不定積分を求めなさい。
(a) \( \displaystyle \int \frac{ x^2 +x -1 }{ \sqrt{ x } } \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{ x^2 +x -1 }{ \sqrt{ x } } \dd{x} \\
&=& \int \qty( x^{ \frac{3}{2} } +x^{ \frac{1}{2} } -x^{ -\frac{1}{2} } ) \dd x \\
&=& \frac{1}{ \frac{3}{2} +1 } x^{ \frac{3}{2} +1 } +\frac{1}{ \frac{1}{2} +1 } x^{ \frac{1}{2} +1 } -\frac{1}{ -\frac{1}{2} +1 } x^{ -\frac{1}{2} +1 } +C (Cは任意定数) \\
&=& \frac{1}{ \frac{5}{2} } x^{ \frac{5}{2} } +\frac{1}{ \frac{3}{2} } x^{ \frac{3}{2} } -\frac{1}{ \frac{1}{2} } x^{ \frac{1}{2} } +C \\
&=& \frac{2}{5} x^2 \sqrt{ x } +\frac{2}{3} x \sqrt{ x } -2 \sqrt{ x } +C \\
&=& \frac{6}{15} x^2 \sqrt{ x } +\frac{10}{15} x \sqrt{ x } -\frac{30}{15} \sqrt{ x } +C \\
&=& \frac{2}{15} \sqrt{ x } \qty( 3 x^2 +5 x -15 ) +C \\
\end{eqnarray}
\)
(b) \( \displaystyle \int \frac{ 1 }{ ( 2x +1 )^3 } \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{ 1 }{ ( 2x +1 )^3 } \dd x \\
&=& \int \qty( 2x +1 )^{ -3 } \dd x \\
&=& \frac{1}{2} \cdot \qty( -\frac{1}{2} ) \cdot ( 2x +1 )^{ -2 } +C (Cは任意定数) \\
&=& -\frac{1}{ 4 ( 2x +1 )^2 } +C \\
\end{eqnarray}
\)
(c) \( \displaystyle \int \cos \qty( \frac{ 2x -1 }{3} ) \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \cos \qty( \frac{ 2x -1 }{3} ) \dd x \\
&=& \int \cos \qty( \frac{2}{3} x -\frac{1}{3} ) \dd x \\
&=& \frac{3}{2} \sin \qty( \frac{2}{3} x -\frac{1}{3} ) +C (Cは任意定数) \\
&=& \frac{3}{2} \sin \qty( \frac{ 2x -1 }{ 3 } ) +C \\
\end{eqnarray}
\)
(d) \( \displaystyle \int 4x \qty( x^2 +2 )^5 \dd x \)
【解答】
\( t = x^2 +2 \) とおく。両辺を \( x \) で微分すると
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle \dv{t}{x} &=& 2x \\
\frac{1}{2} \dd t &=& x \dd x \\
\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int 4x \qty( x^2 +2 )^5 \dd x \\
&=& \int 4 \qty( x^2 +2 )^5 x \dd x \\
&=& \int 4 t^5 \cdot \frac{1}{2} \dd t \\
&=& 2 \int t^5 \dd t \\
&=& 2 \cdot \frac{1}{6} t^6 +C (Cは任意定数) \\
&=& \frac{1}{3} t^6 +C \\
&=& \frac{1}{3} ( x^2 +2 )^6 +C \\
\end{eqnarray}
\)
(e) \( \displaystyle \int \frac{ x +2 }{ x( x +1 )^2 } \dd x \)
【解答】
\( \displaystyle \frac{ x +2 }{ x( x +1 )^2 } = \frac{ a }{ x } +\frac{ b }{ x +1 } +\frac{ c }{ ( x +1 )^2 } \) とおく。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle (右辺) &=& \frac{ a ( x +1 )^2 +bx ( x +1 ) +cx }{ x( x +1 )^2 } \\
&=& \frac{ ax^2 +2ax +a +bx^2 +bx +cx }{ x( x +1 )^2 } \\
&=& \frac{ ( a +b )x^2 +( 2a +b +c )x +a }{ x( x +1 )^2 } \\
\end{eqnarray}
\)
左辺と係数を比較して
\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a +b = 0 \\
2a +b +c = 1 \\
a = 2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)
より \( a = 2 , b = -2 , c = -1 \) である。よって、
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{ x +2 }{ x( x +1 )^2 } \dd x \\
&=& \int \qty( \frac{ 2 }{ x } +\frac{ -2 }{ x +1 } +\frac{ -1 }{ ( x +1 )^2 } ) \dd x \\
&=& \int \qty( \frac{ 2 }{ x } -\frac{ 2 }{ x +1 } -\frac{ 1 }{ ( x +1 )^2 } ) \dd x \\
&=& 2 \int \frac{ 1 }{ x } \dd x -2 \int \frac{ 1 }{ x +1 } \dd x -\int ( x +1 )^{ -2 } \dd x \\
&=& 2 \log \abs{ x } -2 \log \abs{ x +1 } -\frac{1}{ -2 +1 } ( x +1 )^{ -2 +1 } +C (Cは任意定数) \\
&=& 2 \log \abs{ x } -2 \log \abs{ x +1 } -\frac{1}{ -1 } ( x +1 )^{ -1 } +C \\
&=& 2 \log \abs{ x } -2 \log \abs{ x +1 } +\frac{1}{ x +1 } +C \\
\end{eqnarray}
\)
(f) \( \displaystyle \int \frac{ x^2 +4x +9 }{ ( x^2 +3 )( 2x +3 ) } \dd x \)
【解答】
\( \displaystyle \frac{ x^2 +4x +9 }{ ( x^2 +3 )( 2x +3 ) } = \frac{ ax +b }{ x^2 +3 } +\frac{ c }{ 2x +3 } \) とおく。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle (右辺) &=& \frac{ ( ax +b )( 2x +3 ) +c( x^2 +3 ) }{ ( x^2 +3 )( 2x +3 ) } \\
&=& \frac{ 2ax^2 +3ax +2bx +3b +cx^2 +3c }{ ( x^2 +3 )( 2x +3 ) } \\
&=& \frac{ ( 2a +c )x^2 +( 3a +2b )x +3b +3c }{ ( x^2 +3 )( 2x +3 ) } \\
\end{eqnarray}
\)
左辺と係数を比較して
\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2a +c = 1 \\
3a +2b = 4 \\
3b +3c = 9
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)
より \( a = 0 , b = 2 , c = 1 \) である。よって、
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{ x^2 +4x +9 }{ ( x^2 +3 )( 2x +3 ) } \dd x \\
&=& \int \qty( \frac{ 0x +2 }{ x^2 +3 } +\frac{ 1 }{ 2x +3 } ) \dd x \\
&=& \int \qty( \frac{ 2 }{ x^2 +3 } +\frac{ 1 }{ 2x +3 } ) \dd x \\
&=& 2 \int \frac{ 1 }{ x^2 +\sqrt{ 3 }^2 } \dd x +\int \frac{ 1 }{ 2x +3 } \dd x \\
&=& 2 \cdot \frac{1}{ \sqrt{3} } \mathrm{Tan}^{-1} \frac{x}{ \sqrt{3} } +\frac{1}{2} \log \abs{ 2x +3 } +C (Cは任意定数) \\
&=& \frac{2}{ \sqrt{3} } \mathrm{Tan}^{-1} \frac{x}{ \sqrt{3} } +\frac{1}{2} \log \abs{ 2x +3 } +C \\
\end{eqnarray}
\)
(g) \( \displaystyle \int \frac{ x^3 }{ ( x +1 )( x -1 )( x +2 ) } \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \frac{ x^3 }{ ( x +1 )( x -1 )( x +2 ) } \\
&=& \frac{ x^3 }{ x^3 +2x^2 -x -2 } \\
&=& \frac{ x^3 +2x^2 -x -2 -2x^2 +x +2 }{ x^3 +2x^2 -x -2 } \\
&=& 1 +\frac{ -2x^2 +x +2 }{ x^3 +2x^2 -x -2 } \\
\end{eqnarray}
\)
と変形する。ここで
\( \displaystyle \frac{ -2x^2 +x +2 }{ ( x +1 )( x -1 )( x +2 ) } = \frac{ a }{ x +1 } +\frac{ b }{ x -1 } +\frac{ c }{ x +2 } \) とおく。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle (右辺) &=& \frac{ a( x -1 )( x +2 ) +b( x +1 )( x +2 ) +c( x +1 )( x -1 ) }{ ( x +1 )( x -1 )( x +2 ) } \\
&=& \frac{ ax^2 +ax -2a bx^2 +3bx +2b +cx^2 -c }{ ( x +1 )( x -1 )( x +2 ) } \\
&=& \frac{ ( a +b +c )x^2 +( a +3b )x -2a +2b -c }{ ( x +1 )( x -1 )( x +2 ) } \\
\end{eqnarray}
\)
左辺と係数を比較して
\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a +b +c = -2 \\
a +3b = 1 \\
-2a +2b -c = 2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)
より \( \displaystyle a =\frac{1}{2} , b =\frac{1}{6} , c = -\frac{8}{3} \) である。よって、
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{ x^3 }{ ( x +1 )( x -1 )( x +2 ) } \dd x \\
&=& \int \qty( 1 +\frac{ \frac{1}{2} }{ x +1 } +\frac{ \frac{1}{6} }{ x -1 } +\frac{ -\frac{8}{3} }{ x +2 } ) \dd x \\
&=& \int \dd x +\frac{1}{2} \int \frac{1}{ x +1 } \dd x +\frac{1}{6} \int \frac{1}{ x -1 } \dd x -\frac{8}{3} \int \frac{1}{ x +2 } \dd x \\
&=& x +\frac{1}{2} \log \abs{ x+1 } +\frac{1}{6} \log \abs{ x -1 } -\frac{8}{3} \log \abs{ x +2 } +C (Cは任意定数) \\
\end{eqnarray}
\)
(h) \( \displaystyle \int \sin 4x \ \sin x \dd x \)
【解答】
積和の公式を用いて
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \sin 4x \ \sin x \dd x \\
&=& -\frac{1}{2} \int \qty{ \cos ( 4x +x ) -\cos ( 4x -x ) } \dd x \\
&=& -\frac{1}{2} \int \qty( \cos 5x -\cos 3x ) \dd x \\
&=& -\frac{1}{2} \qty( \frac{1}{5} \sin 5x -\frac{1}{3} \sin 3x ) +C (Cは任意定数) \\
&=& -\frac{1}{10} \sin 5x +\frac{1}{6} \sin 3x +C \\
\end{eqnarray}
\)
(i) \( \displaystyle \int e^x \qty( e^{ 2x } +1 ) \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int e^x \qty( e^{ 2x } +1 ) \dd x \\
&=& \int \qty( e^{ 3x } +e^x ) \dd x \\
&=& \frac{1}{3} e^{ 3x } +e^x +C (Cは任意定数) \\
\end{eqnarray}
\)
(j) \( \displaystyle \int \frac{1}{ x^2 -4 } \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{1}{ x^2 -4 } \dd x \\
&=& \int \frac{1}{ ( x -2 )( x +2 ) } \dd x \\
&=& \frac{1}{4} \int \qty( \frac{1}{ x -2 } -\frac{1}{ x +2 } ) \dd x \\
&=& \frac{1}{4} \qty( \log \abs{ x -2 } -\log \abs{ x + 2 } ) +C (Cは任意定数) \\
&=& \frac{1}{4} \log \abs{ x -2 } -\frac{1}{4} \log \abs{ x + 2 } +C \\
\end{eqnarray}
\)
(k) \( \displaystyle \int \frac{1}{ x^2 +4 } \dd x \)
【解答】
公式 \( \displaystyle \int \frac{1}{ x^2 +a^2 } \dd x = \frac{1}{a} \mathrm{Tan}^{-1} \frac{x}{a} +C \) を用いる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{1}{ x^2 +4 } \dd x \\
&=& \int \frac{1}{ x^2 +2^2 } \dd x \\
&=& \frac{1}{2} \mathrm{Tan}^{-1} \frac{x}{2} +C (Cは任意定数) \\
\end{eqnarray}
\)
(l) \( \displaystyle \int \frac{1}{ \sqrt{ 4 -x^2 } } \dd x \)
【解答】
公式 \( \displaystyle \int \frac{1}{ \sqrt{ a^2 -x^2 } } \dd x = \mathrm{Sin}^{-1} \frac{x}{a} +C \) を用いる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{1}{ \sqrt{ 4 -x^2 } } \dd x \\
&=& \int \frac{1}{ \sqrt{ 2^2 -x^2 } } \dd x \\
&=& \mathrm{Sin}^{-1} \frac{x}{2} +C (Cは任意定数) \\
\end{eqnarray}
\)
(m) \( \displaystyle \int \frac{1}{ \sqrt{ x^2 +4 } } \dd x \)
【解答】
公式 \( \displaystyle \int \frac{1}{ \sqrt{ x^2 +A } } \dd x = \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +A } } +C \) を用いる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{1}{ \sqrt{ x^2 +4 } } \dd x \\
&=& \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +4 } } +C (Cは任意定数) \\
\end{eqnarray}
\)
(n) \( \displaystyle \int \sqrt{ x^2 +2 } \dd x \)
【解答】
\( \displaystyle I = \int \sqrt{ x^2 +2 } \dd x \) とおいてまず分子の有理化を行い、\( \displaystyle \qty( \sqrt{ x^2 +2 } )’ = \frac{ x }{ \sqrt{ x^2 +2 } } \) を用いて部分積分する。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle I &=& \int \sqrt{ x^2 +2 } \dd x \\
I &=& \int \frac{ \sqrt{ x^2 +2 } }{1} \dd x \\
I &=& \int \frac{ \sqrt{ x^2 +2 } \cdot \sqrt{ x^2 +2 } }{1 \cdot \sqrt{ x^2 +2 } } \dd x \\
I &=& \int \frac{ x^2 +2 }{ \sqrt{ x^2 +2 } } \dd x \\
I &=& \int \qty( \frac{ x^2 }{ \sqrt{ x^2 +2 } } +\frac{ 2 }{ \sqrt{ x^2 +2 } } ) \dd x \\
I &=& \int x \cdot \frac{ x }{ \sqrt{ x^2 +2 } } \dd x +2 \int \frac{ 1 }{ \sqrt{ x^2 +2 } } \dd x \\
I &=& \int x \cdot \qty( \sqrt{ x^2 +2 } )’ \dd x +2 \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +2 } } \\
I &=& x \sqrt{ x^2 +2 } -\int ( x )’ \cdot \sqrt{ x^2 +2 } \dd x +2 \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +2 } } \\
I &=& x \sqrt{ x^2 +2 } -\int \sqrt{ x^2 +2 } \dd x +2 \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +2 } } \\
I &=& x \sqrt{ x^2 +2 } -I +2 \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +2 } } \\
I +I &=& x \sqrt{ x^2 +2 } +2 \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +2 } } \\
2I &=& x \sqrt{ x^2 +2 } +2 \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +2 } } \\
I &=& \frac{1}{2} \qty( x \sqrt{ x^2 +2 } +2 \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +2 } } ) \\
\end{eqnarray}
\)
よって、
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \sqrt{ x^2 +2 } \dd x \\
&=& \frac{1}{2} \qty( x \sqrt{ x^2 +2 } +2 \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +2 } } ) +C (Cは任意定数) \\
\end{eqnarray}
\)
※これだけの手順に自信が無ければ公式として覚えるべき。
\( \displaystyle \int \sqrt{ x^2 +A } \dd x = \frac{1}{2} \qty( x \sqrt{ x^2 +A } +A \log \abs{ x +\sqrt{ x^2 +A } } ) +C \)
(o) \( \displaystyle \int \frac{1}{ x^2 +4x +9 } \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{1}{ x^2 +4x +9 } \dd x \\
&=& \int \frac{1}{ x^2 +4x +4 +5 } \dd x \\
&=& \int \frac{1}{ ( x +2 )^2 +\sqrt{5}^2 } \dd x \\
&=& \frac{1}{ \sqrt{5} } \mathrm{Tan}^{-1} \frac{ x +2 }{ \sqrt{5} } +C (Cは任意定数) \\
\end{eqnarray}
\)
(p) \( \displaystyle \int \frac{1}{ \sqrt{ -x^2 +2x +3 } } \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{1}{ \sqrt{ -x^2 +2x +3 } } \dd x \\
&=& \int \frac{1}{ \sqrt{ -x^2 +2x -1 +4 } } \dd x \\
&=& \int \frac{1}{ \sqrt{ 4 -( x^2 -2x +1 ) } } \dd x \\
&=& \int \frac{1}{ \sqrt{ 2^2 -( x -1 )^2 } } \dd x \\
&=& \mathrm{Sin}^{-1} \frac{ x -1 }{2} +C (Cは任意定数) \\
\end{eqnarray}
\)
(q) \( \displaystyle \int \frac{1}{ \sqrt{ x^2 +4x +6 } } \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \frac{1}{ \sqrt{ x^2 +4x +6 } } \dd x \\
&=& \int \frac{1}{ \sqrt{ x^2 +4x +4 +2 } } \dd x \\
&=& \int \frac{1}{ \sqrt{ ( x +2 )^2 +2 } } \dd x \\
&=& \log \abs{ x +2 +\sqrt{ ( x +2 )^2 +2 } } +C (Cは任意定数) \\
&=& \log \abs{ x +2 +\sqrt{ x^2 +4x +4 +2 } } +C \\
&=& \log \abs{ x +2 +\sqrt{ x^2 +4x +6 } } +C \\
\end{eqnarray}
\)
(n) \( \displaystyle \int \sqrt{ x^2 -4x +9 } \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int \sqrt{ x^2 -4x +9 } \dd x \\
&=& \int \sqrt{ x^2 -4x +4 +5 } \dd x \\
&=& \int \sqrt{ ( x -2 )^2 +5 } \dd x \\
&=& \frac{1}{2} \qty{ ( x -2 ) \sqrt{ ( x -2 )^2 +5 } +5 \log \abs{ x -2 +\sqrt{ ( x -2 )^2 +5 } } } +C (Cは任意定数) \\
&=& \frac{1}{2} \qty{ ( x -2 ) \sqrt{ x^2 -4x +4 +5 } +5 \log \abs{ x -2 +\sqrt{ x^2 -4x +4 +5 } } } +C \\
&=& \frac{1}{2} \qty{ ( x -2 ) \sqrt{ x^2 -4x +9 } +5 \log \abs{ x -2 +\sqrt{ x^2 -4x +9 } } } +C \\
\end{eqnarray}
\)
2.次の定積分を求めなさい。
(a) \( \displaystyle \int_1^e \frac{ ( \log x )^2 }{ x } \dd x \)
【解答】
\( t = \log x \) とおく。両辺を \( x \) で微分すると
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle \dv{t}{x} &=& \frac{1}{x} \\
\dd t &=& \frac{1}{x} \dd x \\
\end{eqnarray}
\)
となり、変域は
\(
\begin{array}{c|ccc}
x & 1 & \rightarrow & e \\
\hline
t & 0 & \rightarrow & 1 \\
\end{array}
\)
となる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle (与式) &=& \int_1^e ( \log x )^2 \cdot \frac{1}{x} \dd x \\
&=& \int_0^1 t^2 \dd t \\
&=& \qty[ \frac{1}{3} t^3 ]_0^1 \\
&=& \frac{1}{3} \cdot 1^3 -\frac{1}{3} \cdot 0^3 \\
&=& \frac{1}{3} -0 \\
&=& \frac{1}{3} \\
\end{eqnarray}
\)
(b) \( \displaystyle \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \qty( \cos^2 x +3 \sin x -1 ) \cos x \ \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \qty( \cos^2 x +3 \sin x -1 ) \cos x \ \dd x \\
&=& \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \qty( 1 -\sin^2 x +3 \sin x -1 ) \cos x \ \dd x \\
&=& \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \qty( -\sin^2 x +3 \sin x ) \cos x \ \dd x \\
\end{eqnarray}
\)
ここで \( t = \sin x \) とおく。両辺を \( x \) で微分すると
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle \dv{t}{x} &=& \cos x \\
\dd t &=& \cos x \ \dd x \\
\end{eqnarray}
\)
となり、変域は
\(
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \rightarrow & \frac{ \pi }{2} \\
\hline
t & 0 & \rightarrow & 1 \\
\end{array}
\)
となる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle (与式) &=& \int_0^1 ( -t^2 +3t ) \dd t \\
&=& \qty[ -\frac{1}{3} t^3 +3 \cdot \frac{1}{2} t^2 ]_0^1 \\
&=& \qty( -\frac{1}{3} \cdot 1^3 +\frac{3}{2} \cdot 1^2 ) -\qty( -\frac{1}{3} \cdot 0^3 +\frac{3}{2} \cdot 0^2 ) \\
&=& -\frac{1}{3} +\frac{3}{2} -0 \\
&=& \frac{7}{6} \\
\end{eqnarray}
\)
(c) \( \displaystyle \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } x \cos x \ \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } x \cos x \ \dd x \\
&=& \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } x \qty( \sin x )’ \ \dd x \\
&=& \bigg[ x \sin x \bigg]_0^{ \frac{ \pi }{2} } -\int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \sin x \ \dd x \\
&=& \frac{ \pi }{2} \cdot \sin \frac{ \pi }{2} -0 \cdot \sin 0 +\bigg[ \cos x \bigg]_0^{ \frac{ \pi }{2} } \\
&=& \frac{ \pi }{2} \cdot 1 -0 +\cos \frac{ \pi }{2} -\cos 0 \\
&=& \frac{ \pi }{2} \cdot 1 +0 -1 \\
&=& \frac{ \pi }{2} \cdot 1 -\frac{2}{2} \\
&=& \frac{1}{2} \qty( \pi -2 ) \\
\end{eqnarray}
\)
(d) \( \displaystyle \int_0^1 x e^{ 2x } \ \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int_0^1 x e^{ 2x } \ \dd x \\
&=& \int_0^1 x \qty( \frac{1}{2} e^{ 2x } )’ \ \dd x \\
&=& \qty[ \frac{1}{2} x e^{ 2x } ]_0^1 -\frac{1}{2} \int_0^1 e^{ 2x } \ \dd x \\
&=& \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot e^{ 2 \cdot 1 } -\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot e^{ 2 \cdot 0 } -\frac{1}{2} \qty[ \frac{1}{2} e^{ 2x } ]_0^1 \\
&=& \frac{1}{2} \cdot e^2 -0 -\frac{1}{2} \qty( \frac{1}{2} e^{ 2 \cdot 1 } -\frac{1}{2} e^{ 2 \cdot 0 } ) \\
&=& \frac{1}{2} e^2 -\frac{1}{2} \qty( \frac{1}{2} e^2 -\frac{1}{2} e^0 ) \\
&=& \frac{1}{2} e^2 -\frac{1}{2} \qty( \frac{1}{2} e^2 -\frac{1}{2} ) \\
&=& \frac{1}{2} e^2 -\frac{1}{4} e^2 +\frac{1}{4} \\
&=& \frac{1}{4} e^2 +\frac{1}{4} \\
&=& \frac{1}{4} ( e^2 +1 ) \\
\end{eqnarray}
\)
(e) \( \displaystyle \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \sin^5 x \ \cos^2 x \ \dd x \)
【解答】
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle & & \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \sin^5 x \ \cos^2 x \ \dd x \\
&=& \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \sin^5 x ( 1 -\sin^2 x ) \ \dd x \\
&=& \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \qty( \sin^5 x -\sin^7 x ) \ \dd x \\
&=& \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \sin^5 x \ \dd x -\int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \sin^7 x \ \dd x \\
&=& \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} -\frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \\
&=& \frac{7}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} -\frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \\
&=& \frac{ 56 -48 }{ 105 } \\
&=& \frac{ 8 }{ 105 } \\
\end{eqnarray}
\)
(f) \( \displaystyle \int_0^{ \frac{ \pi }{4} } \sin^5 2x \ \dd x \)
【解答】
\( t = 2x \) とおく。両辺を \( x \) で微分すると
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle \dv{t}{x} &=& 2 \\
\frac{1}{2} \dd t &=& \dd x \\
\end{eqnarray}
\)
となり、変域は
\(
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \rightarrow & \frac{ \pi }{4} \\
\hline
t & 0 & \rightarrow & \frac{ \pi }{2} \\
\end{array}
\)
となる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle (与式) &=& \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \sin^5 t \cdot \frac{1}{2} \dd t \\
&=& \frac{1}{2} \int_0^{ \frac{ \pi }{2} } \sin^5 t \dd t \\
&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \\
&=& \frac{4}{15} \\
\end{eqnarray}
\)
3. \( f(x) = ( x -1 )( x -3 ) \) とするとき、\( y = f(x) \) と \( x \) 軸で囲まれた図形の面積を求めなさい。
【解答】
右図のように、\( y = f(x) \) と \( x \) 軸 \( ( y = 0 ) \) で囲まれた図形は色を付けた部分となる。求める面積を \( S \) とすると
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle S &=& \int_1^3 \qty{ 0 -( x -1 )( x -3 ) } \dd x \\
&=& -\int_1^3 ( x -1 )( x -3 ) \dd x \\
&=& -\int_1^3 ( x^2 -4x +3 ) \dd x \\
&=& -\qty[ \frac{1}{3} x^3 -4 \cdot \frac{1}{2} x^2 +3x ]_1^3 \\
&=& -\qty[ \frac{1}{3} x^3 -2 x^2 +3x ]_1^3 \\
&=& -\qty{ \qty( \frac{1}{3} \cdot 3^3 -2 \cdot 3^2 +3 \cdot 3 ) -\qty( \frac{1}{3} \cdot 1^3 -2 \cdot 1^2 +3 \cdot 1 ) } \\
&=& -\qty{ \qty( 9 -18 +9 ) -\qty( \frac{1}{3} -2 +3 ) } \\
&=& -\qty( 0 -\frac{4}{3} ) \\
&=& \frac{4}{3} \\
\end{eqnarray}
\)
4. \( f(x) = ( x -1 )( x -3 ) \) とするとき、次の問いに答えなさい。
(a) 2点 \( A ( 0, f(0) ) \) ， \( B ( 2 , f(2) ) \) を通る直線の方程式を求めなさい。
【解答】
\( f(0) = ( 0 -1 )( 0 -3 ) = 3 \) ， \( f(2) = ( 2 -1 )( 2 -3 ) = -1 \) より \( A ( 0 , 3 ) \) ，\( B ( 2 , -1 ) \) となる。
よって、この2点を通る直線の方程式は
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle y -3 &=& \frac{ -1 -3 }{ 2 -0 } ( x -0 ) \\
y -3 &=& -2x \\
y &=& -2x +3 \\
\end{eqnarray}
\)
となる。
(b) \( \displaystyle y = f(x) \) で定められる曲線と上の(a)で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めなさい。
【解答】
まず交点を求める。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle ( x -1 )( x -3 ) &=& -2x +3 \\
x^2 -4x +3 &=& -2x +3 \\
x^2 -2x &=& 0 \\
x ( x -2 ) &=& 0 \\
\end{eqnarray}
\)
より、\( x = 0 , 2 \) となるから、交点は \( ( 0, 3 ) \) ， \( ( 2 , -1 ) \) である。求める面積を \( S \) とすると
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle S &=& \int_0^2 \qty{ ( -2x +3 ) -( x^2 -4x +3 ) } \dd x \\
&=& \int_0^2 \qty( -2x +3 -x^2 +4x -3 ) \dd x \\
&=& \int_0^2 \qty( -x^2 +2x ) \dd x \\
&=& \qty[ -\frac{1}{3} x^3 +2 \cdot \frac{1}{2} x^2 ]_0^2 \\
&=& \qty[ -\frac{1}{3} x^3 +x^2 ]_0^2 \\
&=& \qty( -\frac{1}{3} \cdot 2^3 +2^2 ) -\qty( -\frac{1}{3} \cdot 0^3 +0^2 ) \\
&=& -\frac{8}{3} +4 -0 \\
&=& \frac{4}{3} \\
\end{eqnarray}
\)
5. \( f(x) = ( x -1 )( x -3 ) \) とするとき、曲線 \( y = f(x) \) \( ( 0 \leqq x \leqq 4 ) \) の長さ \( l \) は次式で計算できる。このとき、 \( g(x) \) に入る数式と定数 \( a , b \) の値を答えなさい。
\( \displaystyle l = \int_a^b g(x) \dd x \)
【解答】
\( f(x) = x^2 -4x +3 \) より、\( f'(x) = 2x -4 \)
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle l &=& \int_0^4 \sqrt{ 1 +( 2x -4 )^2 } \ \dd x \\
&=& \int_0^4 \sqrt{ 1 +( 4x^2 -16x +16 ) } \ \dd x \\
&=& \int_0^4 \sqrt{ 1 +4x^2 -16x +16 } \ \dd x \\
&=& \int_0^4 \sqrt{ 4x^2 -16x +17 } \ \dd x \\
\end{eqnarray}
\)
よって、 \( \displaystyle g(x) = \sqrt{ 4x^2 -16x +17 } \) ， \( a = 0 , b = 4 \) となる。
6. \( f(x) = ( x -1 )( x -3 ) \) とするとき、曲線 \( y = f(x) \) \( ( 1 \leqq x \leqq 3 ) \) を \( x \) 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めなさい。
【解答】
求める体積を \( V \) とすると
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle V &=& \pi \int_1^3 ( x^2 -4x +3 )^2 \ \dd x \\
&=& \pi \int_1^3 \qty{ ( x^2 )^2 +( -4x )^2 +3^2 +2 \cdot x^2 \cdot ( -4x ) +2 \cdot ( -4x ) \cdot 3 +2 \cdot 3 \cdot x^2 } \ \dd x \\
&=& \pi \int_1^3 \qty( x^4 +16x^2 +9 -8x^3 -24x +6x^2 ) \ \dd x \\
&=& \pi \int_1^3 \qty( x^4 -8x^3 +22x^2 -24x +9 ) \ \dd x \\
&=& \pi \qty[ \frac{1}{5} x^5 -8 \cdot \frac{1}{4} x^4 +22 \frac{1}{3} x^3 -24 \cdot \frac{1}{2} x^2 +9 x ]_1^3 \\
&=& \pi \qty[ \frac{1}{5} x^5 -2 x^4 +\frac{22}{3} x^3 -12 x^2 +9 x ]_1^3 \\
&=& \pi \qty{ \qty( \frac{1}{5} \cdot 3^5 -2 \cdot 3^4 +\frac{22}{3} \cdot 3^3 -12 \cdot 3^2 +9 \cdot 3 ) -\qty( \frac{1}{5} \cdot 1^5 -2 \cdot 1^4 +\frac{22}{3} \cdot 1^3 -12 \cdot 1^2 +9 \cdot 1 ) } \\
&=& \pi \qty( \frac{243}{5} -162 +198 -108 +27 -\frac{1}{5} +2 -\frac{22}{3} +12 -9 ) \\
&=& \frac{16}{15} \pi \\
\end{eqnarray}
\)
7. 半径 \( r \) の直円柱がある。この円柱を、底面の直径 \( \mathrm{AB} \) を通り底面と \( \displaystyle \frac{ \pi }{6} \) の角をなす平面で切り取るとき、底面と平面の間の部分の体積 \( V \) を求めなさい。
【解答】
右の図のように、底面の直径 \( \mathrm{AB} \) に重ねて \( x \) 軸をとる。 \( \mathrm{AB} \) 上に点 \( \mathrm{P} \) をとり、座標を \( x \) とする。底面上で、点 \( \mathrm{P} \) から \( \mathrm{AB} \) に垂直な直線を引き円周と交わる点を \( \mathrm{Q} \) とする。点 \( \mathrm{Q} \) から底面に垂直な直線を引き平面と交わる点を点を \( \mathrm{R} \) とする。
△ \( \mathrm{OPQ} \) は直角三角形なので \( \mathrm{PQ} = \sqrt{ r^2 -x^2 } \) となる。
△ \( \mathrm{PQR} \) も直角三角形で、底面と平面のなす角が \( \displaystyle \frac{ \pi }{6} \) であるから、∠ \( \displaystyle \mathrm{QPR} = \frac{ \pi }{6} \) である。よって、 \( \displaystyle \mathrm{QR} = \mathrm{PQ} \tan \frac{ \pi }{6} = \sqrt{ r^2 -x^2 } \tan \frac{ \pi }{6} \) となる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle △ \mathrm{PQR} &=& \frac{1}{2} \cdot \mathrm{PQ} \cdot \mathrm{QR} \\
&=& \frac{1}{2} \cdot \sqrt{ r^2 -x^2 } \cdot \sqrt{ r^2 -x^2 } \tan \frac{ \pi }{6} \\
&=& \frac{1}{2} \cdot \qty( r^2 -x^2 ) \cdot \frac{1}{ \sqrt{3} } \\
&=& \frac{1}{ 2 \sqrt{3} } \qty( r^2 -x^2 ) \\
\end{eqnarray}
\)
よって、
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle V &=& \int_{ -r }^r \frac{1}{ 2 \sqrt{3} } \qty( r^2 -x^2 ) \ \dd x \\
&=& 2 \int_0^r \frac{1}{ 2 \sqrt{3} } \qty( r^2 -x^2 ) \ \dd x \\
&=& \frac{1}{ \sqrt{3} } \int_0^r \qty( r^2 -x^2 ) \ \dd x \\
&=& \frac{1}{ \sqrt{3} } \qty[ r^2 x -\frac{1}{3} x^3 ]_0^r \\
&=& \frac{1}{ \sqrt{3} } \qty{ \qty( r^2 \cdot r -\frac{1}{3} \cdot r^3 ) -\qty( r^2 \cdot 0 -\frac{1}{3} \cdot 0^3 ) } \\
&=& \frac{1}{ \sqrt{3} } \qty{ \qty( r^3 -\frac{1}{3} r^3 ) -0 } \\
&=& \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot \frac{2}{3} r^3 \\
&=& \frac{2}{ 3 \sqrt{3} } r^3 \\
&=& \frac{ 2 \sqrt{3} }{ 9 } r^3 \\
\end{eqnarray}
\)
となる。
